Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 2 \\ 5 & 3 & - 6 \\ 2 & 4 & 3 \end{array}]$

Paso 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Paso 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Paso 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 6 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Paso 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 5 & - 6 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Paso 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Paso 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Paso 1.9

Add the terms together.

$3 | \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ 4 & 3 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 5 & - 6 \\ 2 & 3 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Paso 2

Evalúa $| \begin{array}{c} 3 & - 6 \\ 4 & 3 \end{array} |$ .

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (3 \cdot 3 - 4 \cdot - 6) - 1 | \begin{array}{c} 5 & - 6 \\ 2 & 3 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$3 (9 - 4 \cdot - 6) - 1 | \begin{array}{c} 5 & - 6 \\ 2 & 3 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$3 (9 + 24) - 1 | \begin{array}{c} 5 & - 6 \\ 2 & 3 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Paso 2.2.2

Suma $9$ y $24$ .

$3 \cdot 33 - 1 | \begin{array}{c} 5 & - 6 \\ 2 & 3 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} 5 & - 6 \\ 2 & 3 \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 33 - 1 (5 \cdot 3 - 2 \cdot - 6) + 2 | \begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$3 \cdot 33 - 1 (15 - 2 \cdot - 6) + 2 | \begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 6$ .

$3 \cdot 33 - 1 (15 + 12) + 2 | \begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Paso 3.2.2

Suma $15$ y $12$ .

$3 \cdot 33 - 1 \cdot 27 + 2 | \begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 33 - 1 \cdot 27 + 2 (5 \cdot 4 - 2 \cdot 3)$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $5$ por $4$ .

$3 \cdot 33 - 1 \cdot 27 + 2 (20 - 2 \cdot 3)$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$3 \cdot 33 - 1 \cdot 27 + 2 (20 - 6)$

Paso 4.2.2

Resta $6$ de $20$ .

$3 \cdot 33 - 1 \cdot 27 + 2 \cdot 14$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica $3$ por $33$ .

$99 - 1 \cdot 27 + 2 \cdot 14$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$99 - 27 + 2 \cdot 14$

Paso 5.1.3

Multiplica $2$ por $14$ .

$99 - 27 + 28$

Paso 5.2

Resta $27$ de $99$ .

$72 + 28$

Paso 5.3

Suma $72$ y $28$ .

$100$